解题思路：（1）由已知中f（x）在[α，β]上为减函数函数f（x）=
lo
g
a
x−2
x+2
的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β-1），logaa（α-1）]，我们可得
lo
g
a
α−2
α+2
＝f(x
)
max
＝lo
g
a
a(α−1)
，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α＞2，同理β＞2，故关于x的方程
lo
g
a
x−2
x+2
＝lo
g
a
a(x−1)
在（2，+∞）内有二不等实根α、β．由此构造关于a的不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围；
（2）令Φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），我们易得Φ（2）•Φ（4）＜0，进而根据零点存在定理，结合（1）中的结论，得到答案；
（3）由已知中函数g（x）=logaa（x-1）-
lo
g
a
x−2
x+2
，x∈[α，β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M=g（4）=loga9+1，结合（1）中a的取值范围，即可得到答案．
解．（1）按题意，得loga
α−2
α+2＝f(x)max＝logaa(α−1)．
∴
α−2
α+2＞0
α−1＞0即 α＞2． （3分）
又loga
β−2
β+2＝fmin(x)＝logaa(β−1)
∴关于x的方程loga
x−2
x+2＝logaa(x−1)．
在（2，+∞）内有二不等实根x=α、β．
⇔关于x的二次方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β．
⇔
a＞0且a≠1
△＝(a−1)2+8a(a−1)＞0
−
a−1
2a＞2
4a+2(a−1)+2(1−a)＞0⇔0＜a＜
1
9．
故 0＜a＜
1
9． （6分）
（2）令Φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），
则Φ（2）•Φ（4）=4a•（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜α＜4＜β． （10分）
（3）∵g(x)＝loga
(x−1)(x+2)
x−2+1，
g′(x)＝
1
lna•
x−2
(x−1)(x+2)•
(2x+1)(x−2)−(x2+x−2)
(x−2)2
=[1/lna•
x(x−4)
(x+2)(x−1)(x−2)]．
∵lna＜0，
∴当x∈（α，4）时，g'（x）＞0；
当x∈（4，β）是g'（x）＜0．
又g（x）在[α，β]上连接，
∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减．
故 M=g（4）=loga9+1=loga9a． （12分）
∵0＜a＜
1
9，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．
若M≥1，则9a=aM．
∴9=aM-1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．（15分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中（1）的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x的方程logax−2x+2＝logaa(x−1)在（2，+∞）内有二不等实根α、β．并由此构造关于a的不等式组，（2）的关键是构造函数Φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），将问题转化为函数零点判断问题，（3）的关键是利用导数法，判断出M=g（4）．
