设函数f（x）=[x/lnx]-ax，若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为2．
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解题思路：（Ⅰ）求出函数的导数，由切线的斜率为2，得到a的方程，即可求得a；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，根据x＞1，令导数大于0，得到增区间，令导数小于0，得到减区间，

从而得到函数的极小值，无极大值．

（Ⅰ）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2-a⇒f′(e)=-a=2⇒a=-2

（Ⅱ）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2+2=

2(lnx)2+lnx-1

(lnx)2=

(2lnx-1)(lnx+1)

(lnx)2≥0⇒x≥

e

则函数f（x）的单调递增区间为(

e，+∞)，

令f′（x）<0，得1

e，

单调递减区间为(1，

e)；

则f（x）在x=

e处取极小值f(

e)=4

e，无极大值．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的几何意义，考查导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．

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