数列{a n }是公差为正数的等差数列，a 2 、a 5 且是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前
1个回答
（1）∵等差数列{a n}的公差d＞0，a 2、a 5且是方程x 2-12x+27=0的两根，
∴a 2=3，a 5=9．
∴d=
9-3
5-2 =2，
∴a n=a 2+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{b n}中，T n=1-
1
2 b n，①
∴T n+1=1-
1
2 b n+1，②
②-①得：
b n+1
b n =
1
3 ，又T 1=1-
1
2 b 1=b 1，
∴b 1=
2
3 ，
∴数列{b n}是以
2
3 为首项，
1
3 为公比的等比数列，
∴b n=
2
3 • (
1
3 ) n-1 ；
综上所述，a n=2n-1，b n=
2
3 • (
1
3 ) n-1 ；
（2）∵c n=a n•b n=（2n-1）•
2
3 • (
1
3 ) n-1 ，
∴S n=a 1b 1+a 2b 2+…+a nb n
=1×
2
3 +3×
2
3 ×
1
3 +…+（2n-1）×
2
3 × (
1
3 ) n-1 ，③
∴
1
3 S n=
2
3 ×
1
3 +3×
2
3 × (
1
3 ) 2 +…+（2n-3）×
2
3 × (
1
3 ) n-1 +（2n-1）×
2
3 × (
1
3 ) n ，④
∴③-④得：
2
3 S n=
2
3 +
4
3 [
1
3 + (
1
3 ) 2 + (
1
3 ) 3 +…+ (
1
3 ) n-1 ]-（2n-1）×
2
3 × (
1
3 ) n ，
S n=1+2[
1
3 + (
1
3 ) 2 + (
1
3 ) 3 +…+ (
1
3 ) n-1 ]-（2n-1）× (
1
3 ) n
=1+2×
1
3 [1- (
1
3 ) n-1 ]
1-
1
3 -（2n-1）× (
1
3 ) n
=2-
2n+2
3 × (
1
3 ) n-1
=2-（2n+2）× (
1
3 ) n ．
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