过点D(0,4)的直线l与椭圆C:x2/4+y2=1交于E、F,O为坐标原点 若向量DE•向量D
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原题应是:过点D(0,4)的直线l与椭圆C:x^2/4+y^2=1交于E、F,O为坐标原点 若向量OE•向量OF=0,求直线l的斜率.
由题设l的方程 y=kx+4
E(x1,y1) ,F(x2,y2)
向量OE•向量OF=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)
=(k^2+1)x1x2+4k(x1+x2)+16
得 (k^2+1)x1x2+4k(x1+x2)+16=0 (1)
由y=kx+4 和x^2/4+y^2=1 联立消去y并简得
(4k^2+1)x^2+32kx+60=0
△=16[64k^2-15(4k^2+1)]=16(4k^2-15)>0
即 k^2>15/4 (2)
x1+x2=-32k/(4k^2+1) x1x2=60/(4k^2+1)
代入 （1）得
(k^2+1)(60/(4k^2+1))+4k(-32k/(4k^2+1) )+16=0
k^2=19>15/4
所以 k=-√19 或 k=√19
希望对你有点帮助!
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