已知函数f(x)=x+1/x,x∈[-2,-1)； -2,x∈[-1,1/2) ；x-1/x,x∈[1/2,2]
1个回答
解1：
1、当x∈[-2,-1)时,f(x)=x+1/x
f‘(x)=1-1/x²
令：f‘(x)＞0,即：1-1/x²＞0
x²＞1
解得：x＞1或x＜-1
考虑到定义域x∈[-2,-1),此时f(x)是单调增函数
最大值是：lim【x→-1】f(x)=0；最小值是：f(-2)=(-2)+1/(-2)=-5/2
2、当x∈[-1,1/2)时,f(x)=-2
3、当x∈[1/2,2]时,f(x)=x-1/x
f'(x)=1+1/x²
令：f‘(x)＞0,即：1+1/x²＞0
1/x²＞-1,恒成立
此时,f(x)为单调增函数.
最大值是：f(2)=2-1/2=3/2；最小值是：f(1/2)=1/2-1/(1/2)=-3/2
综合以上三种情形,得：
f(x)的最大值是3/2
f(x)的最小值是-5/2
因此,所求值域是：f(x)∈[3/2,-5/2].
解2：
因为：g(x)=ax-2,所以：g(x0)=a(x0)-2
1、当x1∈[-2,-1)时,f(x1)=(x1)+1/(x1)
因为：g(x0)=f(x1)
所以：a(x0)-2=(x1)+1/(x1)
a=[(x1)+1/(x1)+2]/(x0)
a=[(x1)²+2(x1)+1]/[(x1)(x0)]
a=(x1+1)²/[(x1)(x0)]
2、当x1∈[-1,1/2)时,f(x1)=-2
所以：a(x0)-2=-2
a=4/(x0)
3、当x1∈[1/2,2]时,f(x1)=(x1)-1/(x1)
所以：a(x0)-2=(x1)-1/(x1)
a=[(x1)-1/(x1)+2]/(x0)
a=[(x1)²+2(x1)-1]/[(x1)(x0)]
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