如图①,A、O、B三点共线,C、O、D三点共线且OA=OD、OB=OC、∠AOD=∠BOC=90°取一点P,使得PA=P
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解①∵OA=OD,OB=OC,∠AOD=∠BOC=90°
∴△AOD和△BOC都是等腰三角形.
∴∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=45°
在△DCP和△BAP中,
∵PB=PD,PA=PC,AB=OA+OB=DC=OD+OC,
∴△DCP≌△BAP,∴∠PDC=∠PBA,∠PAB=∠PCD
在△DPA中,∠PDA=∠ODA+∠PDC=45°+∠PDC
∠PAD=∠OAD+∠PAB=45°+∠PAB
∠DPA=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°-(∠PDC+∠PAB)=90°-(∠PBA+∠PCD)
在△BPC中,∠PBC=∠OBC-∠PBA=45°-∠PBA
∠PCB=∠OCB-∠PCD=45°-∠PCD
∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°+(∠PBA+∠PCD)
∴∠DPA+∠BPC=90°-(∠PBA+∠PCD)+ 90°+(∠PBA+∠PCD)=180°
解②解法同①：只是将：∠AOD=∠BOC=90°改为∠AOD=∠BOC=120°将∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=45°改为∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=30°
就得到：∠DPA+∠BPC=120°-(∠PBA+∠PCD)+120°+(∠PBA+∠PCD)=240°
解③也解法同①：将α代入得∠DPA+∠BPC=2α
可见：∠DPA+∠BPC=∠AOD+∠BOC
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