三角形的2条角平分线等长,证明该三角形是等腰三角形.
1个回答
没说不让用三角函数吧!
三角形ABC中,叫分线BD,CE
设∠ABC=2α,∠ACB=2β,BD=CE=x,BC=y
三角形中由正弦定理得
x y
———＝———————
sin2β sin(π-α-2β)
x y
———＝———————
sin2α sin(π-2α-β)
sin2α sin2α·cosβ+cos2α·sinβ
———＝———————————
sin2β cosα·sin2β+sinα·cos2β
整理得 (sinα)^2·cosα·(cosβ)^2-(sinα)^2·cosα·(sinβ)^2+ 2sinα·(cosα)^2·sinβ·cosβ
=(cosα)^2·(sinβ)^2·cosβ-(sinα)^2·(sinβ)^2·cosβ +2sinα·cosα·sinβ·(cosβ)^2
即
[cosα(cosβ)^2-(cosα)^2·(cosβ)^2·cosα]-
(sinα)^2·(sinβ)^2·cosα+
(2sinαcosαsinβcosβ)cosα
=[(cosα)^2·cosβ-(cosα)^2·(cosβ)^2·cosβ]-
(sinα)^2·(sinβ)^2·cosβ+
(2sinαcosαsinβcosβ)cosβ
所以
(cosα-cosβ)[sinαsinβ-cosαcosβ)^2+cosαcosβ]=0
则
cosα=cosβ
在三角形中
α=β
所以三角形ABC为等腰三角形
