设f″（x）在[0．π]上连续，且f（0）=2，f（π）=1，求∫π0[f（x）+f″（x）]sinxdx．
2个回答

解题思路：先把要求的式子简化，然后再利用定积分的分部积分法计算该题即可．

因为

∫π0[f(x)+f″(x)]sinxdx=

∫π0f(x)sinxdx+

∫π0f″(x)sinxdx

又f″（x）在[0．π]上连续，且f（0）=2，f（π）=1，

所

∫π0f″(x)sinxdx

=

∫π0sinxdf′(x)

=f′(x)sin

x|π0−

∫π0f′(x)cosxdx

=-

∫π0cosxdf(x)

=-f（x）cos

x|π0−

∫π0f(x)sinxdx

=f（π）+f（0）-

∫π0f(x)sinxdx

=3-

∫π0f(x)sinxdx

所以

∫π0[f(x)+f″(x)]sinxdx=

∫π0f(x)sinxdx+3−

∫π0f(x)sinxdx＝3．

点评：

本题考点： 定积分的分部积分法．

考点点评： 本题主要考查定积分的分部积分法，本题属于基础题．

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