我国北方常遭遇严重的沙尘暴天气,所谓沙尘暴可以简化为如下情景:快速向上刮起的大风将大量沙尘颗粒扬起后悬浮在空中,可视为这时风对沙尘的作用力与沙尘的重力平衡.已知风对沙尘粒的作用力大小的可近似表达为f=[1/2]πρ空r2v2,式中ρ空为空气密度,r为沙尘粒的半径(沙尘粒可近似看成球体,且球体的体积V=[4/3]πr3),v为风速,如果沙尘粒的密度ρ沙=3×103㎏/m3,沙尘粒的半径r=2.5×10-4m,地面的空气密度ρ空=1.25㎏/m3,若空气密度ρ空随地面高度h的变化关系为每升高1km空气密度减少0.21㎏/m3,则要形成沙尘暴现象,地面的风速至少为______m/s,当地面的风速为10m/s时,沙尘暴的最大高度为______km.
解题思路:沙尘颗粒受竖直向上的风力f与竖直向下的重力G作用处于平衡状态,由二力平衡条件知,重力G和风力F相等,列出等式,解方程求出风的速度;由平衡条件求出风速为10m/s时空气的密度,再求出空气密度随高度变化的关系,最后由空气的密度求出沙尘暴的高度.
沙尘颗粒受重力G=mg=ρ沙Vg=ρ沙[4/3]πr3g与空气作用力为f=[1/2]πρ空r2v2作用而平衡,
在地面附近空气密度ρ0=1.25kg/m3,由平衡条件得:ρ沙[4/3]πr3g=[1/2]ρ空πr2v2,
则v=
8ρ沙rg
3ρ空=
8×3×103kg/m3×2.5×10−4m×9.8N/kg
3×1.25kg/m3≈4m/s;
当风速v=10m/s时,由ρ沙[4/3]πr3g=[1/2]ρ空πr2v2,得:
ρ=
8ρ沙rg
3v2=
8×3×103kg/m3×2.5×10−4m×10N/kg
3×(10m/s)2=0.2kg/m3
空气密度ρ空随地面高度h的变化关系为每升高1km空气密度减少0.21㎏/m3,ρ与h的关系式是:ρ=ρ空-0.21h;
代入数据,有:0.2=1.25-0.2h,解得h=5.25km;
故答案为:4,5.25.
点评:
本题考点: 共点力平衡的条件及其应用;力的合成与分解的运用.
考点点评: 尘颗粒被扬起后悬浮在空气中,是静止的物体,受到平衡力的作用,根据平衡条件列出等式进行计算是解题的关键.
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