已知函数f（x）=lg[（a 2 -1）x 2 +（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（
1个回答
（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a 2-1）x 2+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或
a 2 -1＞0
△=(a+1 ) 2 -4( a 2 -1)＜0. …（3分）
解得a≤-1或 a＞
5
3 ．
∴实数a的取值范围为（-∞， -1]∪(
5
3 ，+∞）．…（5分）
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a 2-1）x 2+（a+1）x+1的值域为A
则A⊇（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或
a 2 -1＞0
△=(a+1 ) 2 -4( a 2 -1)≥0. …（8分）
解得 1≤a≤
5
3 ．
∴实数a的取值范围为[1，
5
3 ] ．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
¬p： a∈(-1 ，
5
3 ] ；q： a∈[1 ，
5
3 ] ．
而 (-1，
5
3 ]⊃[1，
5
3 ] ，
∴¬p是q的必要而不充分的条件．…（13分）
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