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.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′‖a,b′‖b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形,求出角θ的大小.
11.直线和平面所成的角
(1)定义 和平面所成的角有三种：
(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形,求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说,斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
12.二面角及二面角的平面角
(1)半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.
(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图,∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面PCD⊥α,平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ,再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S•cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
13.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V= S•h,求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
14.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离.
15.平行平面的距离
(1)定义 个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法
①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之.
②把面面平行距离转化为线面平行距离,再转化为线线平行距离,最后转化为点线(面)距离,通过解三角形或体积法求解之.
16.异面直线的距离
(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.
(2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件,找出(或作出)两条异面直线的公垂线段,再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.
②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离
③等体积法
④最值法
⑤射影法
⑥公式法
