设实系数方程x^4+x^3根号a+3x^2+x根号a+1=0有实数解,试求a的取值范围
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算术平方根有意义,a≥0
a=0时,方程变为x⁴+3x²+1=0
x⁴+3x²+1=(x²+1)²+x²恒>0,方程无解,因此a≠0
a>0
令x⁴+x³√a+3x²+x√a+1=(x²+mx+1)(x²+nx+1)
方程有实数解,则两个一元二次方程x²+mx+1=0,x²+nx+1=0至少有一个方程有实数解.
判别式≥0,m²≥4 m≥2或m≤-2；同理,n≥2或n≤-2
(x²+mx+1)(x²+nx+1)=x⁴+(m+n)x³+(mn+2)x²+(m+n)x+1=x⁴+x³√a+3x²+x√a+1
m+n=√a
mn+2=3 mn=1
m,n是方程t²-t√a+1=0的两根,即方程t²-t√a+1=0至少有一根在(-∞,2]U[2,+∞)上.
方程有实数根,判别式≥0
(-√a)²-4≥0 a≥4
对于函数f(x)=t²-t√a+1,对称轴x=√a/2≥1又mn=1>0,方程两实数根均为正根.
f(2)≤0
4-2√a+1≤0
√a≥5/2
a≥25/4
综上,得a≥25/4.
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