解题思路：（Ⅰ）2Sn=nan+1-
1/3]n3-n-[2/3]⇒2Sn-1=（n-1）an-[1/3]（n-1）3-（n-1）-[2/3]（n≥2），两式相减，整理可得
a
n+1
n+1
-
a
n
n
=1（n≥2），继而可求得
a
2
2
-
a
1
1
=2-1=1，也符合上式，
从而可得数列{
a
n
n
}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求得an=n2，从而可求得an+3；
（Ⅱ）利用[1
a
n
=
1
n
2
＜
1
(n−1)n
=
1/n−1]-[1/n]（n≥2），即可证得：∀n∈N*，有
n
i＝1
[1
a
i
＜
7/4]．
（Ⅰ）∵2Sn=nan+1-[1/3]n3-n-[2/3]，
∴2Sn-1=（n-1）an-[1/3]（n-1）3-（n-1）-[2/3]（n≥2）．
两式相减得：2an=nan+1-（n-1）an-[1/3]（3n2-3n+1）-（2n-1）-[2/3]，
整理得：（n+1）an=nan+1-n（n+1），
∴
an+1
n+1-
an
n=1（n≥2），
又2S1=a2-[1/3]-1-[2/3]=2，
解得a2=4，∴
a2
2-
a1
1=2-1=1，也符合上式，
∴数列{
an
n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴
an
n=1+（n-1）×1=n．
∴an=n2，
∴an+3=（n+3）2；
（Ⅱ）证明：∵an=n2，
∴[1
an=
1
n2＜
1
(n−1)n=
1/n−1]-[1/n]（n≥2），
∴[1
a1+
1
a2+…+
1
an=
1
1
点评：
本题考点： 数列的求和．
考点点评： 本题主要考查数列递推公式的应用，根据递推数列结合等差数列的定义求出通项公式，利用放缩法是证明不等式的基本方法，属于难题．
1年前
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