I remembered() the door before I left the housebut forget to
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如果这句话只有前半段的话,即I remembered() the door before left the house,

那么to lock 和 locking都说可以用.

remember locking the door和remember to lock the door虽然有细微的差别,但是两者在这里都说得通.

但是,这句话的关键在于后面一部分.“but forget to turn off the lights".如果前面用了locking的话,这里应该是"but I forgot to turn off",句子才成立.

这里没有主语,用的还不是过去式,就是为了和前句的部分相呼应,形成平行句式.

这句话的主干其实是I remembered to lock the door but forget to turn off the lights.

lock the door和forget to turn off相对应.

所以,这句话的正确答案是to lock.