质数个数是不是无限数?为什么,怎么证明?
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是的 在正整数中,一个大于１的数,除了１和它本身之外,没有其它整数能整除它,我们即称这个数为质数.一般我们在求100以内的质数,通常将1至100的所有整数列成出一张表,首先将1划掉；保留2,然后再将剩余2的倍数划掉；保留3,然后再将剩余3的倍数划掉；保留5,然后再将剩余5的倍数划掉.…...以此类推,最后这张表中未被划掉的数,就是100以内的质数.这种方式就是有名的“筛法”,好像把数字放在筛子上,将非质数筛去,而把质数留下来.当我们使用这个方式来寻找更大范围内的质数时,有没有可能划到最后都是合数呢?也就是说质数的个数是有限个,还是无限多个呢?早在公元前275年的著名希腊数学家欧几里德,就已经帮我们证明出质数的个数是无限多的喔!欧几里德使用了一种证明技巧叫作反证法,就是先假设某一件事成立,再以此件事进行推演,最后推得结果与原假设矛盾,即原假设不成立.现在我们就来看看!欧几里德先假设质数的个数是有限个.因为是有限个,所以可以列出所有质数2、3、5、7、…..、ｐ,其中ｐ为最大的质数.然后令Ａ＝2×3×5×7×…..×ｐ＋1,Ａ显然比ｐ大,而其中2×3×5×7×…..×ｐ能被任何质数整除,所以Ａ被任何质数除所得余数皆为1,即Ａ无法被已知的 2、3、5、7、…..、ｐ中任何一个质数整除,也就是Ａ的分解式无法使用有限的 2、3、5、7、…..、ｐ这些质数来表示,它的分解式中必定包含大于ｐ的质数,这一点与原假设产生矛盾.因此,欧几里德证明出质数的个数有无限多个.
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