现有一道高一数学例题,在该例题的第二种解法中,有些地方看不懂,
解方程sin5x=sin4x
解法一:移项并运用三角函数的和差化积公式,得
Sin5x-sin4x=0
2 cos•9x/2 •sin•x/2=0
cos9x/2=0 或 sinx/2=0
由cos9x/2=0,得9x/2=2kπ±π/2 (k∈z) 即
X=4/9 kπ±π/9 (k∈z).k
由sinx/2=0,得x/2=kπ (k∈z),即
X=2kπ (k∈z).
所以原方程的解集是
{x|x=4/9 kπ±π/9,(k∈z)} U {x|x=2kπ,(k∈z)} = { x|x=4/9 kπ±π/9,或x=2kπ,k∈z }.
解法二:因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (-1) ^k•α,k∈z},所以原方程可以化成
5x=kπ+ (-1) ^k•4x (k∈z).
当k是偶数2n(n∈z)时,上式成为5x=2nπ+4x,由此可得
X=2nπ (n∈z).
当k是奇数2n+1(n∈z)时,上式成为5x=(2n+1) π-4x,由此可得
9x=(2n+1) π (n∈z),
即
X=1/9(2n+1) π ,(n∈z).
所以原方程的解集是
{x|x=2nπ ,n∈z}∪{x|x=1/9(2n+1) π ,(n∈z)}=
{x|x=2nπ ,或X=1/9(2n+1) π ,(n∈z)}.
(该例题的两种解法,虽然得到的解集的表示形式不同,但因为当n是偶数2k时,1/9(2n+1) π成为1/9(4k+1) π;当n是奇数2k-1时,1/9(2n+1) π成为1/9(4k-1) π;所以实质上{x | x=1/9(2n+1) π ,(n∈z)}与{x|x=1/9(4k±1) π,k∈z}是相等的集合.就是说,两种解法所得的解集是相同的.
在第二种解法中,从“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (-1) ^k•α,k∈z},所以原方程可以化成”是怎样化成“ 5x=kπ+ (-1) ^k•4x (k∈z).
我现在思想上有很大疑问。比方说,我们知道sin·5π/6=sin·π/6,然而,能利用“因为与α有相同的正弦值的弧度数x的集合是{x|x= kπ + (-1) ^k•α,k∈z}”这一说法,将原式“sin·5π/6=sin·π/6”化成5π/6=kπ + (-1) ^k•π/6吗?首先当k=0时,等号两边都不相等。那么,该例题的第二种解法,还能说得过去吗?
我们知道,两个角的正弦值相同,但是,这两个角的大小并不一定相等,等号两边的“sin”符号,也不是随随便便就可以去掉的。有的朋友说,当k=1时,原式 5x=kπ+ (-1) ^k•4x (k∈z).
成立,我要认为成立。可是,例题中的框释为什么表明“(k∈z)”呢?而不直接写明“k=1”呢?
解法二的思路就是考虑正弦函数值相同的角的关系,两个角α,β如果正弦值相同的话那么就有α+β=(2n+1)π 或者 α=β+2nπ
综合一下 就是 β= kπ-α(k为奇数)
β= kπ+α(k为偶数)
所以可以写成 β= kπ +(-1)^kα,k∈z
接下来只要把4x和5x分别替代α和β就好了
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