（2002•天津）已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=f（x）在点（x1，f（x
1个回答
解题思路：（1）先求函数f（x）的导数，根据y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率等于在该点的导数值可得答案．
（2）①由（1）中切线方程令y=0求出x2，然后作差即得证．
②将①中结论代入即可得证．
（1）f（x）的导数f'（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得x2＝x1−
x31−a
3
x21＝
2
x31+a
3
x21，
x2−a
1
3＝
1
3
x21(2
x31+a−3
x21a
1
3)=[1
3
x21(x1−a
1/3])2(2x1+a
1
3)≥0，
∴x2≥a
1
3，当且仅当x1＝a
1
3时取等成立．
②若x1＞a
1
3，则x13-a＞0，x2−x1＝
x31+a
3
x21＜0，
且由①x2≥a
1
3，
所以a
1
3＜x2＜x1．
点评：
本题考点： 导数的几何意义；函数与方程的综合运用．
考点点评： 本题主要考查导数的几何意义和不等式的证明．属中档题．
相关问题
