已知,以△ABC的两边AB,AC向外作等边△DAB和△EAC,连接BE,CD交于F.求证（1）FA平分角DFE
2个回答

1）过A分别作AP⊥CD,AQ⊥BE,垂足为P,Q

因为等边三角形ABD和等边△ACE,

所以∠DAB=∠CAE=60°,AD=AB,AE=AC

所以∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

即∠DAC=∠BAE,

在△DAC和△BAE中

DA=BA

∠DAC=∠BAE

AC=AE

所以△DAC≌△BAE

所以∠CDA=∠EBA,

因为AP⊥CD,AQ⊥BE,垂足为P,Q

所以AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等)

又因为∠APF=∠AQF=90°

AF为公共边

所以△AFP≌△AFQ(HL)

所以∠AFP=∠AFQ,

即FA平分角DFE

2）△AMN是等边三角形

理由,

因为M是DC的中点,N是BE的中点,

所以AM,AN是△ACD,△AEB的中线,

又△DAC≌△BAE,

所以AM=AN,

所以△ANM是等腰三角形

因为DM=CD/2,BN=BE/2,DC=BE,

所以DM=CN

所以△DAM≌△BAN,

所以∠DAM=∠BAN

所以∠MAN=∠BAN+∠BAM=∠DAM+∠BAM=∠DAB=60°

所以△ANM是等边三角形

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