已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2．

已知二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2．

（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式；

（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式．

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解题思路：（1）先根据二次函数的解析式求出其顶点坐标，而其顶点坐标为新函数上任意一点，即横坐标为x=m-1，纵坐标为y=2m-3，整理即可得到所求函数的解析式；

（2）根据根与系数的关系求出两根之积与两根之和的表达式，再将|x2-x1|=4两边平方，转化为关于m的方程，解答即可．

（1）二次函数的顶点坐标为（m-1，2m-3），

顶点坐标在某一直线的图象上，

即横坐标为x=m-1，

纵坐标为y=2m-3=2（x+1）-3

y=2x-1．

故不论m为何值，二次函数的顶点都在直线y=2x-1上；

（2）设二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），

由已知|x2-x1|=4，再利用根与系数的关系，得

x1+x2＝2(m−1)

x1 x2 ＝m2−2

又（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2

∴16=4（m-1）2-4（m2-2）

解得：m=-[1/2]

∴原二次函数的解析式为：y=x2+3x-[7/4]．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数根与系数的关系，综合性较强，要求同学们有较强的分析能力．

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