解题思路：（Ⅰ）由Sn-Sn-1可得数列
{
a
n
p
n−1
}
的通项公式，从而得an；
（Ⅱ）由通项an写出前n项和Tn的表达式并计算结果；
（III）讨论p=1时，p≠1时，不等式是否成立．
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=3；
当n≥2时，
an
pn−1=Sn-Sn-1=2n+1，得an=（2n+1）pn-1；
又因为n=1也满足上式，所以an=（2n+1）pn-1；
（Ⅱ）∵Tn=3+5p+7p2+…+（2n+1）pn-1，
①当p=1时，Tn=3+5+7+…+（2n+1）=n2+2n；
②当p≠1时，由Tn=3+5p+7p2+…+（2n+1）pn-1得
pTn=3p+5p2+7p3+…+（2n-1）pn-1+（2n+1）pn，
∴（1-p）Tn=3+2（p+p2+p3+…+pn-1）-（2n+1）pn，
∴Tn=[3/1−p]+
2p(1−pn−1)
(1−p)2-[1/1−p]（2n+1）pn．
综上，当p=1时，Tn=n2+2n；
当p≠1时，Tn=[3/1−p]+
2p(1−pn−1)
(1−p)2-[1/1−p]（2n+1）pn．
（ III）①当p=1时，显然对任意n∈N*，都有（1-p）Tn+pan≥2pn恒成立；
②当p≠1时，可转化为对任意n∈N*，都有3+
2p(1−pn−1)
1−p≥2pn恒成立．
即对任意n∈N*，都有[3−p/1−p]≥[4−2p/1−p]pn恒成立．
当0＜p＜1时，只要[3−p/4−2p]≥p成立，解得：0＜p＜1；
当1＜p＜2时，只要[3−p/4−2p]≤pn对任意n∈N*恒成立，
只要有[3−p/4−2p]≤pn对任意n∈N*恒成立，
只要有[3−p/4−2p]≤p成立，解得：1＜p≤[3/2]；
当p≥2时，不等式不成立．
综上，实数p的取值范围为（0，[3/2]]．
点评：
本题考点： 数列的求和；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查了等差、等比数列的综合应用以及数列与不等式的综合应用问题，其中（Ⅰ）是基础题，（Ⅱ）是中档题，（Ⅲ）是难题．
