如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
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解题思路：（1）由已知条件推导出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥面PBD，从而得到面EAC⊥面PBD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．
（1）证明：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∴AC⊥面PBD，
又AC⊂面EAC，
∴面EAC⊥面PBD．
（2）由（1）知AO⊥面PBD，OE是AE在面PBD上的射影，
∴∠AEO是AE与面PBD所成的角，
∵AE与平面PBD所成的角为45°，∴∠AEO=45°．
设AB=2，则AO＝OE＝
2，OP＝2
2．
以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（2，2，0），A（2，0，0），
E（1，1，
2），D（0，0，0），
∴
AB＝(0，2，0)，
AE＝(−1，1，
2)，
DA＝(2，0，0)，
DE＝(1，1，
2)，
设面BAE的法向量
m＝(x，y，z)，
则
m•
AB＝2y＝0
m•
AE＝−x+y+
2z＝0，
取x=
2，得
m＝(
2，0，1)，
设面DAE的法向量
n＝(a，b，c)，
则
n•
DA＝2a＝0
n•
DE＝a+b+
2c＝0，
取b=
2，得
n＝(0，
2，−1)，
∴cos＜
m，
n＞＝−
1
3，
∴二面角B-AE-D的余弦值为−
1
3．
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
考点点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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