因为 A(n+1)=1/(1+1/An)
所以 1/A(n+1)-1/An=1
设 1/An=Bn
B1=1/ B(n+1)-Bn=1
Bn=n An=1/n
A1A2+A2A3+..A2008A2009
=1/(1*2)+1/(2*3)+.1/(2008*2009)
=1-1/2+1/2-1/3+.+1/2008-1/2009
=1-1/2009
=2008/2009
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