已知函数 f(x)=x+ 2 a 2 x -alnx (a∈R) .
1个回答

(1)因为f(x)=x+

2 a 2

x -alnx(x>0) ,所以 f′(x)=1-

2 a 2

x 2 -

a

x =

x 2 -ax-2 a 2

x 2 =

(x+a)(x-2a)

x 2 ,

①若a=0,f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②若a>0,当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2a)上单调递减;当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2a,+∞)上单调递增.

③若a<0,当x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,-a)上单调递减;当x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上单调递增.

综上:①当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.

②当a>0时,f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.

③当a<0时,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.

(2)当a=1时,f(x)=x+

2

x -lnx(x>0) .

由(1)知,若a=1,当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,

所以f(x) min=f(2)=3-ln2.

因为对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f(x 1)≥g(x 2)成立,

所以问题等价于对于任意x∈[1,e],f(x) min≥g(x)恒成立,

即3-ln2≥x 2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1,e]恒成立,

即2b ≥x+

1

x 对于任意x∈[1,e]恒成立,

因为函数y= x+

1

x 的导数 y′=1-

1

x 2 ≥0 在[1,e]上恒成立,

所以函数y=x+

1

x 在[1,e]上单调递增,所以 (x+

1

x ) max =e+

1

e ,

所以2b ≥e+

1

e ,所以b ≥

e

2 +

1

2e ,

故实数b的取值范围为[

e

2 +

1

2e ,+∞ ).