（1）因为f（x）=x+
2 a 2
x -alnx(x＞0) ，所以 f′(x)=1-
2 a 2
x 2 -
a
x =
x 2 -ax-2 a 2
x 2 =
(x+a)(x-2a)
x 2 ，
①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增．
③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增．
综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．
③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（2）当a=1时，f（x）=x+
2
x -lnx(x＞0) ．
由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，
所以f（x） min=f（2）=3-ln2．
因为对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f（x 1）≥g（x 2）成立，
所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x） min≥g（x）恒成立，
即3-ln2≥x 2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立，
即2b ≥x+
1
x 对于任意x∈[1，e]恒成立，
因为函数y= x+
1
x 的导数 y′=1-
1
x 2 ≥0 在[1，e]上恒成立，
所以函数y=x+
1
x 在[1，e]上单调递增，所以 (x+
1
x ) max =e+
1
e ，
所以2b ≥e+
1
e ，所以b ≥
e
2 +
1
2e ，
故实数b的取值范围为[
e
2 +
1
2e ，+∞ ）．
