已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，

（1）若BC=AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；

（2）若BC=BA+CD，求∠A的度数？

（3）若∠A=100°，求证：BC=BD+DA．

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
2个回答

解题思路：（1）在BC上截取BE=BA，连接DE，证△ABD≌△EBD，推出AD=DE=CE，∠A=∠DEB，证出∠A=2∠C，因为∠C=∠B，根据三角形内角和定理求出即可；

（2）在BC上截取CF=CD，连接DF，证△ABD≌△FBD，推出∠A=∠DFB，推出2∠A-∠C=180°，根据三角形内角和定理得到∠A+2∠C=180°，解方程组即可求出答案；

（3）BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW，求出CQ=DQ，证△WBD≌△CBD，推出∠W=∠DQB，证AD=DW，即可推出答案．

（1）答：∠A=90°．理由如下：

在BC上截取BE=BA，连接DE．

∵BC=AB+AD，

∴CE=AD，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠EBD，

∵AB=BE，BD=BD，

∴△ABD≌△EBD，

∴AD=DE=CE，∠A=∠DEB，

∴∠C=∠EDC，

∴∠A=∠DEB=∠C+∠EDC=2∠C，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴4∠C=180°，

∴∠C=45°，∠A=2∠C=90°，

即∠A=90°；

（2）在BC上截取CF=CD，连接DF．

∵BC=BA+CD，

∴BF=BA，

∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，

∴△ABD≌△FBD，

∴∠A=∠DFB，

∵CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD，

∴∠C+2∠DFC=180°，

∵∠A+∠DFC=180°，

∴2∠A-∠C=180°，

∵∠A+2∠C=180°，

解得：∠A=108°，

答：∠A的度数是108°．

（3）证明：

在BC上截取BQ=BD，连接DQ，延长BA到W使BW=BQ，连接DW．

∵∠A=100°，AC=AB，

∴∠C=∠ABC=40°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBQ=20°，

∵BD=BQ，

∴∠DQB=∠BDQ=[1/2]（180°-∠DBQ）=80°，

∴∠CDQ=∠DQB-∠C=40°=∠C，

∴DQ=CQ，

∵在△WBD和△QBD中

BW＝BQ

∠WBD＝∠QBD

BD＝BD，

∴△WBD≌△QBD，

∴∠W=∠DQB=80°，DW=DQ=CQ，

∵∠BAC=100°，

∴∠WAD=180°-100°=80°=∠W，

∴AD=DW=DQ=CQ，

∴BC=BD+DA．

点评：

本题考点： 角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识