解题思路：为证明实对称矩阵A为正定矩阵，仅需证明其特征值均为正数即可．
假设 λ 为A的特征值，
因为A3+A2+A=3E，所以 λ3+λ2+λ-3=0．
即 （λ3-1）+（λ2-1）+（λ-1）=0，
得 （λ-1）（λ2+2λ+3）=0．
解得，λ=1，λ＝
−2±
4−12
2＝−1±2
2i．
因为A为实对称矩阵，其特征只能为实数，所以：λ=1＞0．
所以A的特征值均为1，故A为正定矩阵．
点评：
本题考点： 判断正定的充要条件；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
考点点评： 本题考查了判断正定的充要条件．对于实对称矩阵A，判断其为正定矩阵的常用方法是证明其特征值均为正数．
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