曲线y^2=2(x+4)与y=x围成的面积是多少?求面积围x轴旋转得到的体积?
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联立方程组,求出交点：

y²=2(x+4)

y=x 解得：x1=4,y1=4

x2=-2,y2=-2

∴曲线y^2=2(x+4)与y=x围成的面积为

S=∫(-2,4)[y-(y²/2-4)]dy

=∫(-2,4)(y-y²/2+4)dy

=[y²/2-y³/6+4y]|(-2,4)

=18

面积围x轴旋转得到的体积为

V=∫(-4,0)π[2(x+4)]dy+∫(0,2)π{[2(x+4)]²-x²}dy

=π[∫(-4,0)(2x+8)dy+∫(0,2)(3x²+32x+64)dy]

=π{[x²+8x]|(-4,0)+[x³+16x²+64x]|(0,2)}

=π(16+200)

=216π

算体积时,我认为V是抛物线绕x轴旋转一周所形成的旋转体挖去中间由直线绕x轴形成的三角锥.

计算可能会出错,但思路应该就是这样了,希望对你有所帮助.

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