概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.[3]
常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,令y1=y2,得k1x+b1=k2x+b2.将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1,y2=k2x+b2两式的任一式,得到y=y0,则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标.
6.求任意2点所连线段的中点坐标：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) （若分母为0,则分子为0）
(x,y)为 +,+（正,正）时该点在第一象限
(x,y)为 -,+（负,正）时该点在第二象限
(x,y)为 - ,-（负,负）时该点在第三象限
(x,y)为 +,-（正,负）时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相平行,则k1=k2,b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1,y2=k2x+b2互相垂直,则k1×k2=-1
10.
设原直线为y=kx+b
y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
一次函数的平移
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决：左加右减相对于X,上加下减相对于b.
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k,0),与y轴的交点：(0,b)
生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数.s=vt.
2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数.设水池中原有水量S.g=S-ft.
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b（k为任意正数）.
常见题型
常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容.其中求一次函数解析式就是一类常见题型.现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型.希望对大家的学习有所帮助.
一. 定义型
例1. 已知函数
是一次函数,求其解析式.
由一次函数定义知
,
,
,故一次函数的解析式为y=-6x+3.
注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时,要保证k≠0.如本例中应保证m-3≠0.
二. 点斜型
例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1),求这个函数的解析式.
一次函数 的图像过点(2, -1),
,即k=1.故这个一次函数的解析式为y=x-3.
变式问法：已知一次函数y=kx-3 ,当x=2时,y=-1是,求这个函数的解析式.
三. 两点型
例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4),则这个函数的解析式为_____.
设一次函数解析式为y=kx+b
由题意得
,
故这个一次函数的解析式为y=2x+4.
四. 图像型
[4]
例4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________.
设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图像过点(1, 0)、(0, 2)
有
所以k=-2
b=2
故这个一次函数的解析式为y=-2x+2.
五. 斜截型
例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行,且在y轴上的截距为2,则直线的解析式为___________.
解析：两条直线
；
.当k1=k2 ,b1≠b2时,
直线y=kx+b与直线y=-2x平行,
.又
直线y=kx+b在y轴上的截距为2,故直线的解析式为y=-2x+2.
六. 平移型
例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________.
解析：设函数解析式为 y=kx+b,
直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行
直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1,故图像解析式为
.
七. 实际应用型
例7. 某油箱中存油20升,油从管道中匀速流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________.
由题意得Q=20-0.2t ,即Q=-0.2t+20
故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（
）
注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围,别忘了考虑变量存在等于0的情况.
八. 面积型
例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4,则直线解析式为__________.
易求得直线与x轴交点为
,所以
,所以|k|=2 ,即
故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4
九. 对称型
若直线
与直线y=kx+b关于
（1）x轴对称,则直线
的解析式为y=-kx-b；
（2）y轴对称,则直线
的解析式为y=-kx+b；
（3）直线y=x对称,则直线
的解析式为
；
（4）直线y=-x对称,则直线
的解析式为
；
（5）原点对称,则直线
的解析式为y=kx-b.
例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称,则直线l的解析式为____________.
由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1
十. 开放型
例10. 已知函数的图像过点A(1, 4),B(2, 2)两点,请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程.
（1）若经过A、B两点的函数图像是直线,由两点式易得y=-2x+6
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4,所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线
,解析式为
（3）其它（略）
十一. 几何型
例11. 如图,在平面直角坐标系中,A、B是x轴
[4]
上的两点,
,
,以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点,若C点的坐标为(0, 3).（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式,并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式.
（1）由直角三角形的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0),由待定系数法可求得二次函数解析式为
,对称轴是x=-√3 （2）连结OE、OF,则
、
.过E、F分别作x、y轴的垂线,垂足为M、N、P、G,易求得E
、F
,由待定系数法可求得一次函数解析式为
十二. 方程型
例12. 若方程x2+3x+1=0的两根分别为
,求经过点P
和Q
的一次函数图像的解析式
由根与系数的关系得
点P(11, 3)、Q(-11, 11)
设过点P、Q的一次函数的解析式为y=kx+b
则有
解得
故这个一次函数的解析式为
十三. 综合型
例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线
上,直线y=kx+c经过点D和点C(a, b)且使y随x的增大而减小,a、b满足方程组
,求这条直线的解析式.
由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D
在双曲线上,可求得抛物线的解析式为：
y1=-7x2+14x-12,顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18
顶点D2
解方程组得
,
即C1(-1, -4),C2(2, -1)
由题意知C点就是C1(-1, -4),所以过C1、D1的直线是
；过C1、D2的直线是
5特殊位置关系编辑
当平面直角坐
两一次函数平行
标系中两直线平行时,其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）.
关于平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数的证明：
如图,这2个函数互相垂直,但若直接证明,存在困难,不易理解,
如果平移平面直角坐标系,使这2个函数的交点交于原点,就会更简单.
就像这一样,
可以设这2个函数的表达式分别为；
y=ax, y=bx.
在x正半轴上取一点（z,0)（便于计算）,做与y轴平行的直线,如图,
可知OC=z,AC=a*z,BC=b*z,由
勾股定理可得：
OA=√z^2+(a*z)^2
,OB=√z^2+(b^z)^2
又有OA^2+OB^2=AB^2,得
z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0,故为az-bz）
化简得：
z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2
2z^2=-2ab*z^2
ab=-1
即k=-1
所以两个K值的乘积为-1
注意：与y轴平行的直线没有函数解析式,与x轴平行的直线的解析式为常函数,故上述性质中这两种直线除外.
两一次函数垂直
6学习方法编辑
知识要点
1.要理解函数的意义.
2.联系实际对函数图像的理解.
3.随图像理解数字的变化而变化.
一次函数考点及例题
一次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目.因此,以一次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
误区提醒
1.对一次函数概念理解有误,漏掉一次项系数不为0这一限制条件；
2.对一次函数图象和性质存在思维误区；
3.忽略一次函数自变量取值范围.
7典型例题编辑
函数问题1
已知正比例函数 ,则当k≠0时,y随x的增大而减小.
根据正比例函数的定义和性质,得 ky2,则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x10,且y1>y2.根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2.
故选A.
函数问题3
一次函数y=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
由kb>0,知k、b同号.因为y随x的增大而减小,所以kY2
当X
