1^2+2^2+3^2+.+n^2=?
1个回答

1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

证明如下：

不妨设1²＋2²＋3²＋……＋n²＝S

利用恒等式(n＋1)³＝n³＋3n²＋3n＋1,得：

(n＋1)³－n³＝3n²＋3n＋1

n³－(n－1)³＝3(n－1)²＋3(n－1)＋1

………………………………

3³－2³＝3·2²＋3·2＋1

2³－1³＝3·1²＋3·1＋1

将这n个式子两端分别相加,得：

(n＋1)³－1＝3(1²＋2²＋3²＋……＋n²)＋3(1＋2＋3＋……＋n)＋n

由于1＋2＋3＋4＋……＋n＝n(n＋1)/2

代入上式,得：

n³＋3n²＋3n＝3S＋3/2×n(n＋1)＋n

整理后得S＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

即1²＋2²＋3²＋……＋n²＝1/6·n(n＋1)(2n＋1)

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