如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．P，Q分别是棱DD1，CD的中点．
1个回答
解题思路：（1）证明：连接AC，根据三垂线定理可得：AC1⊥BD并且AC1⊥A1B，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．
由P，Q分别是棱DD1，CD的中点，可得PQ∥A1B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算得到两个平面的二面角，进而得到一个等式，即可求出答案．
（1）证明：连接AC，所以AC是AC1在底面内的射影，
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，所以AC⊥BD，
所以根据三垂线定理可得：AC1⊥BD，同理可得：AC1⊥A1B，
因为BD∩A1B=B，
所以AC1⊥平面A1BD．
因为P，Q分别是棱DD1，CD的中点，
所以PQ∥CD1，
所以PQ∥A1B，
又因为A1B⊂平面A1BD，
所以PQ∥平面A1BD．
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：则A1（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），设M（1，y，1），
所以
A1B＝(1，0，−1)，
BD＝(−1，1，0)，
BM＝(0，y，1)，
设平面A1BD与平面BDM的法向量分别为：
n＝(x1，y1，z1)，
m＝(x2，y2，z2)，
所以
点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
考点点评： 本题主要考查线面平行于线面垂直的判定定理，以及利用空间向量解决二面角的平面角的问题．
相关问题
