如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．
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解题思路：（1）确定∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角，即可求直线A1C与平面ABCD所成角的正弦的值；
（2）根据线面平行的判定定理可得：D1B1∥平面GEF，同理AB1∥平面GEF，进而根据面面平行的判定定理可得面面平行；
（3）先证明EF⊥平面AA1C，再根据面面垂直的判定定理可得面面垂直．
（1）∵A1C∩平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1，A1A⊥平面ABCD
∴AC为A1C在平面ABCD的射影
∴∠A1CA为A1C与平面ABCD所成角
∵正方体的棱长为a
∴AC=
2a，A1C=
3a
∴sin∠A1CA=
A1A
A1C=
3
3；
（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中连接BD，
因为DD1∥B1B，DD1=B1B，DD1BB1为平行四边形
所以D1B1∥DB．
∵E，F分别为BC，CD的中点
∴EF∥BD，
∴EF∥D1B1．
∵EF⊂平面GEF，D1B1⊄平面GEF，
∴D1B1∥平面GEF
同理AB1∥平面GEF
∵D1B1∩AB1=B1
∴平面A B1D1∥平面EFG．
（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中有AA1⊥平面ABCD，
∵EF⊂平面ABCD∴AA1⊥EF
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD
∵EF∥BD∴AC⊥EF．
又因为AA1∩AC=A，
所以EF⊥平面AA1C．
∵EF⊂平面EFG
∴平面AA1C⊥面EFG．
点评：
本题考点： 平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．
考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而利用有关的定理解决点、线、面之间的位置关系．
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