（2013•徐州模拟）如图1，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．

（2013•徐州模拟）如图1，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．

（1）求证：△APB≌△DPC；

（2）求证：∠PAC=[1/2]∠BAP；

（3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD（如图2），AD∥BC，且BA=AD=DC，形内一点P仍满足AP=AB，PB=PC，试问（2）中结论还成立吗？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由．

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1个回答

解题思路：（1）根据全等三角形的判定定理可解．

（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，可求出∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°，根据这个关系求出∠PAC=[1/2]∠BAP．

（3）以D为圆心，DA为半径画圆，连接各线，再求出各角之间的关系即可．

（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，

∵BP=PC，

∴∠PBC=∠PCB，

∴∠ABP=∠DCP，

又∵AB=CD，BP=CP，

∴△ABP≌△DCP（SAS）．

（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．

由图形得，x+60=y+60-x，

∴y=2x，

∴∠PAC=[1/2]∠BAP．

（3）以D为圆心，DA为半径画圆，设∠PAC=x°，∠BAP=y°，

则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．

由图形得，x+60=y+60-x，

∴y=2x，

∴∠PAC=[1/2]∠BAP．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的性质．

考点点评： 本题难度较大，综合了全等三角形的判定定理，等腰梯形以及圆的有关知识．

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