（2012•东城区一模）已知函数f(x)＝12x2+2ex−3e2lnx−b在（x0，0）处的切线斜率为零．
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解题思路：（Ⅰ）求导函数，由函数
f(x)＝
1
2
x
2
+2ex−3
e
2
lnx−b
在（x0，0）处的切线斜率为零，即可求x0和b的值；
（Ⅱ）确定f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，可得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值，即可证得结论；
（Ⅲ）由
F(x)＝f′(x)+
a
x
＝x+
a−3
e
2
x
+2e
（x＞0），分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，结合函数
F(x)＝f′(x)+
a
x
有最小值m，且m＞2e，即可求实数a的取值范围．
（Ⅰ）求导函数可得f′(x)＝x+2e−
3e2
x．…（2分）
由题意有f'（x0）=0，即x0+2e−
3e2
x0＝0，解得x0=e或x0=-3e（舍去）．…（4分）
∴f（e）=0即[1/2e2+2e2−3e2lne−b＝0，解得b＝−
1
2e2．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)＝
1
2x2+2ex−3e2lnx+
e2
2(x＞0)，
f'（x）=x+2e−
3e2
x＝
(x−e)(x+3e)
x(x＞0)．
在区间（0，e）上，有f'（x）＜0；在区间（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，
于是函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．…（9分）
故当x＞0时，有f（x）≥0恒成立．…（10分）
（Ⅲ）F(x)＝f′(x)+
a
x＝x+
a−3e2
x+2e（x＞0）．
当a＞3e2时，则F(x)＝x+
a−3e2
x+2e≥2
a−3e2+2e，当且仅当x＝
a−3e2]时等号成立，
故F（x）的最小值m＝2
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求函数的最值是关键．
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