已知f(x)＝23x3−2ax2+3x（a∈R）．
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解题思路：（1）已知
f(x)＝
2
3
x
3
−2a
x
2
+3x
对其进行求导，然后求极值，但是否有极值还得讨论，然后利用导数判断单调区间；
（2）根据y=f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，可以或得信息△＞0，转化为f′（x）在（-1，1）内有且只有一个零点，从而求解；
（1）∵f(x)＝
2
3x3−2ax2+3x（a∈R）．
∴f′（x）=2x2-4ax+3，△=（-4a）2-4×2×3；
①当△＞0时，即|a|＞
6
2时，方程2x2-4ax+3=0有两个根，
分别为x1=a-
4a2−6
2，x2=a+
4a2−6
2，
故f（x）在（-∞，x1）和（x2，+∞）单调递增，
在（x1，x2）上单调递减；
②当△≤0时，f（x）单调递增；
（2）由y=f（x）在（-1，1）上只有一个极值点，知△＞0，即|a|＞
6
2；
且要满足f′（1）•f′（-1）＜0，解得|a|＞[5/4]，
综合得|a|＞[5/4]也即a＞[5/4]或者a＜-[5/4]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 利用导数研究函数的单调区间，是我们常用的方法，此题解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道中档题；
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