已知：a>0,b>0,c>0,若a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b).求b/(a+c)的最小值.
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本题本质为不等式问题,偏竞赛训练类型.
设x=b/（a+c）,y=a/（b+c）,z=c/（a+b）
则有x=y+z,求x的最小值
1/x=(a+c)/b,b/x=a+c
a+b+c=b+b/x=b[1+(1/x）]
同理可得a+b+c=a[1+(1/y)]=c[1+(1/z)]=b[1+(1/x)]
于是a=[1+(1/x)]b/[1+(1/y)],c=[1+(1/x)]b/[1+(1/z)]
代入x=b/（a+c）得
x=b/{[1+(1/x)]b/[1+(1/y)]+[1+(1/x)]b/[1+(1/z)]}
化简得x=（1-yz)/(yz+y+z+1)
而x=y+z
于是x=（1-yz)/(yz+x+1)
得yz=（1-x²）/（2x+1）
因为0＜yz≤（y+z）²/4
于是0＜（1-x²）/（2x+1）≤x²/4
左边得x＜1,右边为2x³+5x²-4≥0【为三次不等式】
观察等号为y=z时成立,此时a=c【下面先找三次方程的根】
x=b/2a,z=y=a/（b+a）
b/2a=2a/（b+a）,得b²+ab-4a²=0
（b/a）²+（b/a）-4=0,得b/a=（-1+√17）/2,x=b/2a=（-1+√17）/4
将x=（-1+√17）/4代入2x³+5x²-4得0【找到x1=（-1+√17）/4为该三次方程的一个跟】
令t=（-1+√17）/4,则2x³+5x²-4=2（x-t)(x²+tx+t²）+5（x-t)(x+t)
=(x-t)(2x²+2tx+2t²+5x+5t）
于是2x³+5x²-4≥0即（x-t)(2x²+2tx+2t²+5x+5t）≥0
因为x＞0,t＞0,于是因式2x²+2tx+2t²+5x+5t＞0
解为x≥t=（-1+√17）/4
于是x的最小值为（-1+√17）/4
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