解题思路：（1）记（1+2x）2n=a0+a1x+…+a2nx2n，利用赋值可分别令x=1得：32n=a0+a1+…+a2n，令x=-1得：1=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1），从而可求
（2）由（1）可得
f(n)＝
4
4×
9
n
+12
＝
1
9
n
+3
，注意到f（n）+f（1-n）=[1/3]，从而可考虑利用倒序相加求和即可
（3）由
a
n
(
a
n
−4)(
a
n+1
−4)
＝
4×
9
n−1
(4×
9
n−1
−4)(4×
9
n
−4)
=
9
n−1
4(
9
n−1
−1)(
9
n
−1)
=
1
32
(
1
9
n−1
−1
−
1
9
n
−1
)
，故可以利用裂项求和先求和，然后利用二展开式进行放缩可证
（1）记（1+2x）2n=a0+a1x+…+a2nx2n
令x=1得：32n=a0+a1+…+a2n
令x=-1得：1=a0-a1+a2-a3+…-a2n-1+a2n
两式相减得：32n-1=2（a1+a3+…+a2n-1）
∴Sn＝
1/2(9n−1)（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4×9n-1
当n=1时，a1=S1=4，适合上式
∴an=4×9n-1（4分）
（2）f(n)＝
4
4×9n+12＝
1
9n+3]
注意到f(n)+f(1−n)＝
1
9n+3+
1
91−n+3=[1
9n+3+
9n
9+3×9n＝
1/3]（6分）
令T＝f(0)+f(
1
n)+f(
2
n)+…+f(
n
n)
则T=f(
n
n)+f(
n−1
n)+…+f(
1
n)+f(0)
∴2T＝[f(0)+f(
n
n)]+[f(
1
n)+f(
n−1
n)]+…+[f(
n−1
n)+f(
1
n)]+[f(
n
n)+f(0)]
故T＝
n+1
6，即f（0）+f（[1/n]）+f（[2/n]）+…+f（[n/n]）=[n+1/6]（8分）
（3）
an
(an−4)(an+1−4)＝
4×9n−1
(4×9n−1−4)(4×
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 本题主要考查了利用赋值法求二项展开式的系数，及数列求和中的倒序相加、裂项求和等方法的应用，还要注意放缩法在证明不等式中的应用．
