Γ(x)称为伽马函数,他的一个性质Γ(1/2)=√π怎么证明啊?
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Γ(1/2)=int(e^x/sqrt(x),x=0..+无穷)

(就是x^(1/2-1)*e^x从0到正无穷的积分)

换元积分,令sqrt(x)=t,则

e^x/sqrt(x)=e^(t^2)/t

x=t^2,dx=2tdt

由x的范围可知t的范围也是0到正无穷

所以

Γ(1/2)=int(e^(t^2)*2t/t,t=0..+无穷)

=int(2e^(t^2),t=0..+无穷)

而e^(t^2)从0到正无穷的积分是sqrt(Pi)/2,(根据正态分布的密度函数)

(或者利用极坐标的二重积分计算该积分的平方,)

所以Γ(1/2)=sqrt(Pi)