已知函数f（x）=ax3+x2-ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（-∞，-1]，使函数g（x）=f（x）+f′
3个回答
解题思路：由h（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，知h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．
由题意，g（x）=ax3+（3a+1）x2+（2-a）x-a，
据题知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，
即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1-3a））≥0…①
当x=-1时，不等式①成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1-3a），由a∈（-∞，-1]知其图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又ϕ（-1）=-4a＞0，故不等式②成立的充要条件是ϕ（b）≥0，
整理得：
b2+2b−3
b+1≤-[1/a]在a∈（-∞，-1]上有解，
∴
b2+2b−3
b+1≤1，
∴-1＜b≤
17−1
2，
∴实数b的最大值为
17−1
2，
故答案为：
17−1
2．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．
相关问题
