解题思路：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．
（1）都是真命题；
若选（Ⅰ）证明如下：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∵AH=BG，
∴四边形ABGH是平行四边形，
∴AB=HG，
∴AB=HG=AH=BG，
∴四边形ABGH是菱形；
若选（Ⅱ），证明如下：
∵矩形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F、G、H是中点，
∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，
∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形；
若选（Ⅲ），证明如下
∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，EA=EC，
又∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
∠AOF＝∠COE＝90°
AO＝CO
∠FAO＝∠ECO，
∴△ADF≌△COE（ASA）
∴AF=CE，
∴AF=FC=CE=EA，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；
（3）SABGH=a2 ，
SEFGH=[1/2]ab，
S菱形AECF=
a(a2+b2)
2b，
∵
a(a2+b2)
2b-a2=
a(a2+b2)−2a2b
2b=
a(a−b)2
2b＞0（b＞a）
∴S菱形AECF＞SABGH．
∵
a(a2+b2)
2b-[1/2]ab=
a(a2+b2)−ab2
2b=
a(a2+b2−b2)
2b=
a3
2b＞0，
∴S菱形AECF＞SEFGH．
∵a2 -[1/2]ab=a（a-[1/2]b）
点评：
本题考点： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理．
考点点评： 本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．
