如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m
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解题思路：由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°-Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°-Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．
m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，
∴分解因式得：（n-5）（m-3）2≤0，
∵n为大于5的实数，
∴m-3=0，∵即：PA=m=3，
∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，
∴PB=4，PC=5，
设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，
则∠PAC=60°-Q，
由余弦定理得：cosQ=
AB2+PA2−BP2
2AB•PA=
a2−7
6a，（1）
cos（60°-Q）=
PA2+AC2−PC2
2PA•AC=
a2−16
6a，（2）
而cos（60°-Q）=cos60°cosQ-sin60°sinQ，
=[cosQ/2]-
3sinQ
2=
a2−16
6a，（3）
将（1）代入（3）得：
1
2(a2−7)
6a-
3sinQ
2=
a2−16
6a，
解得：sinQ=
25−a2
6
3a，
∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，
∴(
25−a2
6
点评：
本题考点： 勾股定理的逆定理；因式分解-提公因式法；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．
考点点评： 本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．
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