解题思路：（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由题意g（x）在x=1处取得极值，由此能求出a的值．
（Ⅱ）由g′（x）=3x2-2x-1，知g（x）=x3-x2-x+2，g（-1）=1．故点P（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，由此能求出函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程．
（Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．即2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由题意g（x）在x=1处取得极值，
将x=1代入方程3x2+2ax-1=0，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2-2x-1，
g（x）=x3-x2-x+2，g（-1）=1．
∴g′（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，
函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．…（8分）
（Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．
即2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立．
可得a≥lnx-[3/2x−
1
2x]对x∈（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=lnx-[3/2]x-[1/2x]，则h′(x)＝
1
x−
3
2+
1
2x2=-
(x−1)(3x+1)
2x2．
令h′（x）=0，得x=1，x=-[1/3]（舍）．
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，∴a≥-2
∴a的取值范围是[-2，+∞）．…（13分）
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查实数的求法，考查切线方程的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．
