已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点在直线y=-12x-1上，且过点A（4，0）．
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解题思路：（1）利用待定系数法就可以求出这个抛物线的解析式，抛物线解析式为
y＝
1
2
x
2
−2x
；
（2）在抛物线上存在一点B，使四边形OPAB为梯形．当AP∥OB时，过点B作BH⊥x轴于H，则OH=BH，设点B（x，x），求出x=6，所以B（6，6）；
（3）在抛物线的对称轴确定一点D，使|AD-CD|的值最大，点C的坐标是（1，-3），要满足|AD-CD|的值最大，则点D的坐标（2，-6）．
（1）∵抛物线过点（0，0）、（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∵顶点在直线y=-
1
2x-1上，
∴顶点坐标为（2，-2）．
故设抛物线解析式为y=a（x-2）2-2，
∵过点（0，0），
∴a=
1
2，
∴抛物线解析式为y=
1
2x2-2x；
（2）当AP∥OB时，
如图，∠BOA=∠OAP=45°，过点B作BH⊥x轴于H，则OH=BH．
设点B（x，x），
故x=
1
2x2-2x，
解得x=6或x=0（舍去）
∴B（6，6）．
当OP∥AB′时，同理设点B′（4-y，y）
故y=
1
2(4-y)2-2(4-y)，
解得y=6或y=0（舍去），
∴B′（-2，6）；
∴B的坐标为（6，6）或（-2，6）．
（3）D坐标应是（2，-6）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是把求最值的问题转化为函数问题，利用函数的性质求解．
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