f(x)=x-1/x-alnx1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线被圆x^2+y^2=1截得的弦长为√2,

f(x)=x-1/x-alnx

1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线被圆x^2+y^2=1截得的弦长为√2,求a的值

2)若函数f(x)在其定义域上为增函数,求实数a的值

3)当a≤2时,设函数g(x)=x-lnx-1/e,若在[1,e]上存在x1,x2使f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围

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1个回答

f`(x)=1+1/x^2-a/x

（1）.f(1)=1-1-0=0

f`(1)=1+1-a=2-a

切线方程：y=(2-a)x+1

被圆x^2+y^2=1截得的弦长为√2

∵圆的半径是1,圆心是原点

∴原点到切线y=(2-a)x+1的距离是√2/2

|0-0+1|/√[(2-a)^2+1]=√2/2

a=1或3

（2）

f`(x)=1+1/x^2-a/x>=0

=(x^2-ax+1)/x^2>=0

即x^2-ax+1>=0

x^2+1>=ax

∵x>0

∴x+1/x>=a

x+1/x>=2（均值不等式）

∴a≤2

（3）

当a≤2时,f(x)是增函数

g`(x)=1-1/x=(x-1)/x

∵x∈[1,e]

∴g`(x)=1-1/x=(x-1)/x>=0

∴g(x)也是增函数

∴g(1)=1-0-1/e=1-1/e>0

g(e)=e-1-1/e

而f(1)=0

∵存在x1,x2使f(x1)≥g(x2)成立

而且g(x)f(x)都是增函数

∴要求f(e)≥g(e)=e-1-1/e

e-1/e-a≥e-1-1/e

∴a≤1

如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳

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