已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=f(x)+f(−x)2,h(x)=f(x)−f(−x)2
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解题思路:①根据函数奇偶性的定义,我们易判断出g(-x)与g(x),h(-x)与h(x)的关系,进而判断出函数g(x)与h(x)的奇偶性;

②由已知中函数g(x)与h(x)的解析式,我们易判断g(x),h(x)与f(x)的关系;

③根据①②的结论,通过归纳分析即可得到结论.

①∵g(−x)=

f(−x)+f(x)

2=g(x)

∴函数g(x)为偶函数

又∵h(−x)=

f(−x)−f(x)

2=−

f(x)−f(−x)

2=-h(x)

∴函数h(x)为奇函数

②∵g(x)=

f(x)+f(−x)

2,h(x)=

f(x)−f(−x)

2

∴f(x)=g(x)+h(x)

③由①②得,任何一个定义域为R的函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数相加的形式.

点评:

本题考点: 函数奇偶性的判断.

考点点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,熟练掌握函数奇偶性的定义是解答本题的关键.