已知函数f(x)＝mx2+m−22x (m＞0)．若f（x）≥lnx+m-1在[1，+∞）上恒成立，
3个回答
解题思路：（1）由题意，令
g(x)＝lnx−
mx
2
−
m−2
2x
+m−1≤0
在x∈[1，+∞）上恒成立，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性与最值，即可确定m取值范围；
（2）取m=1，则lnx
≤
1
2
(x−
1
x
)
，令x=n，可得
nlnn≤
n
2
−1
2
，累加并化简可得结论．
（1）由题意，令g(x)＝lnx−
mx
2−
m−2
2x+m−1≤0在x∈[1，+∞）上恒成立
g′(x)＝
1
x−
m
2+
m−2
2x2＝
−(x−1)(mx+m−2)
2x2…4分
当−1＜
2
m−1≤1时，即m≥1时g′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，∴g（x）在其上递减．
∵gmax=g（1）≤0
∴原式成立．
当[2/m−1＞1，即0＜m＜1时，∵g(1)＝0，gmax＝g(
2
m−1)＞g(1)＝0
∴不能恒成立．
综上：m≥1…9分
（2）证明：取m=1，则lnx≤
1
2(x−
1
x)，∴xlnx≤
x2−1
2]
令x=n，∴nlnn≤
n2−1
2
∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤
1
2[22+32+..+n2+1−n]
∵12+22+…+n2＝
n(n+1)(2n+1)
6
∴2ln2+3ln3+…+nlnn≤
2n3+3n2−5n
12，原不等式成立…12分
点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）．
考点点评： 本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查不等式的证明，正确求导，合理取值是关键．
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