当n=1,2,3时,等式1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)=3n^2-3n+2是否成立
1个回答

n=1时：左边＝1×2＝2,右边＝3－3＋2＝2,成立

n=2时：左边＝1×2＋2×3＝8,右边＝12－6＋2＝8,成立

n=3时：左边＝1×2＋2×3＋3×4＝20,右边＝27－9＋2＝20,成立

假设当n取n-1时也成立,则有：

1*2+2*3+3*4+.+(n-1)n=3(n-1)^2-3(n-1)+2

则当n取n时：左边＝1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)

=[1*2+2*3+3*4+.+(n-1)n]+n(n+1)

=[3(n-1)^2-3(n-1)+2]+n(n+1)

=[3n^2-6n+3-3n+3+2]+n^2+n

=4n^2-8n+8

不等于3n^2-3n+2

所以当n=1,2,3时成立,但不是对所有n都成立.

可以举例：n=4时,左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40,右边＝38－12＋2＝20

此时就不成立了.

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