已知函数f(x)＝2sin2(π4+x)−3cos2x，x∈[π4，π2]．
1个回答
解题思路：（1）先利用二倍角公式化简，再利用差角的正弦函数化简函数，可得
f(x)＝1+2sin(2x−
π
3
)
，根据已知角的范围，确定
2x−
π
3
∈ [
π
6
，
2π
3
]
，从而得解；
（2）根据）
2x−
π
3
∈ [
π
6
，
2π
3
]
，可得
2x−
π
3
∈ [
π
6
，
π
2
]
时，函数单调增，
2x−
π
3
∈ [
π
2
，
2π
3
]
时，函数单调减，故可解．
（1）由题意，函数可化为：f(x)＝1+sin2x−
3cos2x＝1+2sin(2x−
π
3)
∵x∈[
π
4，
π
2]
∴2x−
π
3∈ [
π
6，
2π
3]
∴sin(2x−
π
3)∈ [
1
2，1]
∴f（x）∈[2，3]
∴f（x）的最大值和最小值分别为3，2；
（2）∵2x−
π
3∈ [
π
6，
2π
3]
∴2x−
π
3∈ [
π
6，
π
2]时，函数单调增，2x−
π
3∈ [
π
2，
2π
3]时，函数单调减．
∴函数单调增区间为[
π
4，
5π
12]，函数单调减区间为[
5π
12，π]
点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
考点点评： 本题以三角函数为载体，考查三角函数的最值，考查函数的单调性，关键是对函数的化简．
相关问题
