四棱锥P-ABCD底面是矩形,PA垂直于ABCD,E.F分别是AB ,PD的中点又二面角P-CD-B为45度 求证：平面
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四棱锥P—ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD-B为45°.
(1)求证:AF‖平面PEC;
(2)求证:平面PEC⊥平面PCD;
(3)设AD=2,CD=2,求点A到平面PEC的距离.
(1)证明:取PC的中点G,连结EG、FG.
∵F是PD的中点,
∴FG‖CD且FG=CD.
而AE‖CD且AE=CD,
∴EA‖GF且EA=GF,
故四边形EGFA是平行四边形,从而EG‖AF.
又AF平面PEC,EG平面PEC,
∴AF‖平面PEC.
(2)证明:∵PA⊥平面ABCD,
∴AD是PD在平面ABCD上的射影.
又CD⊥AD,
∴CD⊥PD,∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角.
∴∠ADP=45°,则AF⊥PD.
又AF⊥CD,PD∩CD=D,
∴AF⊥平面PCD.
由(1),EG‖AF,
∴EG⊥平面PCD.
而EG平面PEC,
∴平面PEC⊥平面PCD.
过F作FH⊥PC交PC于点H,又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC,
∴FH为点F到平面PEC的距离,而AF‖平面PEC,故FH等于点A到平面PEC的距离.
在△PFH与△PCD中,
∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角,
∴△PFH∽△PCD,=.
∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4,
∴FH=·2=1.
∴点A到平面PEC的距离为1.
望LZ采纳.
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