已知函数 f(x)＝4x+k•2x+14x+2x+1．若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x
1个回答
解题思路：函数
f(x)＝
4
x
+k•
2
x
+1
4
x
+
2
x
+1
的解析式可化为f（x）=
2
x
+k+
1
2
x
2
x
+1+
1
2
x
，令t=
2
x
+1+
1
2
x
，（t≥3），则f（x）=y=1+[k−1/t]，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．
∵函数 f(x)＝
4x+k•2x+1
4x+2x+1=
2x+k+
1
2x
2x+1+
1
2x
令t=2x+1+
1
2x，（t≥3）
则f（x）=y=1+[k−1/t]
若k-1＜0，即k＜1，函数y=1+[k−1/t]在[3，+∞）上为增函数
此时的函数f（x）=y值域为[1+[k−1/3]，1）
若不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立
则2（1+[k−1/3]）≥1，就可以满足条件
解得−
1
2≤k＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）显然成立
若k-1＞0，即k＞1
函数y=1+[k−1/t]在[3，+∞）上为减函数
此时的函数f（x）=y值域为（1，1+[k−1/3]]
若不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立
则1+1≥1+[k−1/3]，
解得1＜k≤4
综上所述：−
1
2≤k≤4
故答案为：−
1
2≤k≤4
点评：
本题考点： 函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的性质，反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数的解析式化为f（x）=y=1+[k−1/t]，是解答的关键．
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