．已知双曲线 的右焦点为F,过F做双曲线C的一条渐近线的垂线,与双曲线交于M,垂足为N,若M为线段FN的中点,则双曲线C
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x²/a²-y²/b²=1

F(c,0)

c²=a²+b²

渐近线y=±(b/a)x

取一条y=(b/a)x

则垂线FN斜率是-a/b,过F

所以y=-(a/b)(x-c)

代入

y=(b/a)x

-(a/b)(x-c)=(b/a)x

(b/a+a/b)x=ac/b

(a²+b²)/ab*x=ac/b

c²/ab*x=ac/b

x=a²/c

y=(b/a)x=ab/c

即N(a²/c,ab/c)

F(c,0)

所以M[(a²+c²)/2c,ab/2c]

代入双曲线b²x²-a²y²=a²b²

b²(a²+c²)²/4c²-a²(a²b²/4c²)=a²b²

把b²约分

a^4+2a²c²+c^4-a^4=4a²c²

c^4-2a²c²=0

c²=2a²

c²/a²=2

e=c/a=√2

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