解题思路：（1）
f′(x)＝m−
1
x
＝
mx−1
x
(x＞0)
，由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数．
（2）由函数f（x）在x=1处取得极值，知m=1，故f（x）≥nx-4⇔
n≥1−
lnx
x
+
1
x
，由此能求出实数n的取值范围．
（3）由于0＜a＜b＜4且b≠e，则[1−lna/a＞
1−lnb
b]，
又由（2）可知，
g(x)＝1+
1−lnx
x
在 （0，4）上是减函数，由此能够比较[1−lna/1−lnb]与[a/b]的大小关系．
（1）f′(x)＝m−
1
x＝
mx−1
x (x＞0)
当m≤0时，f'（x）＜0无极值
当m＞0时，f'（x）=0时x＝
1
m，
则函数f（x）在区间(0，
1
m)上单调递减，在区间(
1
m，+∞ )上单调递增．
∴x＝
1
m为极小值点，无极大值点
（2）f'（1）=m-1=0，∴m=1，∴f（x）=x-lnx-3
由题意知，x-ln3-3≤nx-4在x∈（0，+∞）有解
∴n≥1−
lnx
x+
1
x有解，
令g(x)＝1−
lnx
x+
1
x，即n≥g（x）min，g′(x)＝−
2−lnx
x2
则函数f（x）在区间（0，e2）上单调递减，在区间（e2，+∞）上单调递增．
∴g(x)min＝g(e2)＝1−
2
e2+
1
e2＝1−
1
e2
∴n≥1−
1
e2
（3）由 （2）知g(x)＝1+
1−lnx
x在 （0，4）上是减函数
∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）
∴[1−lna/a＞
1−lnb
b]，∴b（1-lna）＞a（1-lnb）
当0＜b＜e时，1-lnb＞0，∴[1−lna/1−lnb＞
a
b]；
当e＜b＜4时，1-lnb＜0，∴[1−lna/1−lnb＜
a
b]
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查函数的求极值点的个数的求法，考查满足条件的实数的求法，考查不等式的证明．解题时要合理运用导数性质，注意等价转化思想和分类讨论思想的灵活运用．
1年前
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